Какво е аритметика? Основната теорема на аритметиката. Двоична аритметика

Какво е аритметика? Кога човечеството започна да използва номера и да работи с тях? Къде отиват короните на такива често срещани понятия като числа, фракции, изваждане, добавяне и умножение, които човек е направил неразделна част от своя живот и мироглед? Древните гръцки умове се възхищаваха на такива науки като математика, аритметика и геометрия, като най-красивите симфонии на човешката логика.

Може би аритметиката не е толкова дълбока, колкото другите науки, но какво би се случило с тях, забрави ли елементарната маса на умножение? Обичайното логическо мислене, използвайки числа, фракции и други инструменти, не беше лесно дадено на хората и отдавна не беше на разположение на нашите предци. Всъщност, преди развитието на аритметиката, никоя област на човешкото познание не беше наистина научна.

Аритметика е азбуката на математиката

Аритметика е науката за номера, с която всеки човек започва да се запознава с очарователния свят на математиката. Както каза г-н Ломоносов, аритметиката е порталът на стипендията, който ни отваря пътя към световното знание. Но той е прав, може ли знанието за света да бъде отделено от знанията за числа и писма, математика и реч? Може би в старите времена, но не и в съвременния свят, където бързото развитие на науката и технологиите диктува законите си.

Думата "аритметика" (гръцки "аритмос") от гръцки произход означава "число". Тя изучава номера и всичко, което може да бъде свързано с тях. Това е свят на числа: различни действия по числа, числови правила, решаване на проблеми, които включват умножение, изваждане и т.н.

Общоприето е, че аритметиката е началната стъпка на математиката и солидна основа за по-сложните й части, като алгебра, матанализ, по-висока математика и т.н.

Основният обект на аритметиката

Основата на аритметиката е цяло число, чиито свойства и закономерности се считат за по-високи аритметични или теоретични числа. Всъщност силата на цялата сграда - математиката зависи от това колко добре се прави правилният подход при разглеждането на такъв малък блок като естествено число.

Ето защо на въпроса за аритметиката може да се отговори просто: това е науката за числата. Да, за обичайните седем, девет и всичко това разнообразна общност. И както не можете да пишете добри и посредствени стихове без елементарна азбука, без аритметика не можете да разрешите дори елементарен проблем. Ето защо всички науки са напреднали едва след развитието на аритметика и математика, преди всичко са съвкупност от предположения.

Аритметично-фантомна наука

Какво е аритметика - природна наука или фантом? В действителност, както твърдят древните гръцки философи, в реалността няма числа и цифри. Това е просто фантом, който се създава в човешкото мислене, когато се разглежда околната среда с нейните процеси. Всъщност, какво е число? Никъде не виждаме нещо такова, което може да се нарече число, а числото е начин на човешкия ум да изучава света. И може би това е изследване на себе си отвътре? Философите се застъпват за това в продължение на много векове подред, затова не предприемаме изчерпателен отговор. По един или друг начин аритметиката успя да заеме позициите си толкова силно, че в днешния свят никой не може да бъде смятан за социално приспособен, без да знае неговите основи.

Как се е появило естествено число

Разбира се, основният обект, управляван от аритметика, е естествено число, като 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... и т.н. Аритметиката на естествените числа е резултат от преброяването на обикновени предмети, например крави на поляна. И все пак определението за "много" или "малко" престана да отговаря на хората и трябваше да измислям по-добри техники за броене.

Но истински пробив се случи, когато човешката мисъл стигна до точката, че е възможно да се посочи един и същ брой "два" и два килограма, и два тухли и две части. Фактът е, че трябва да абстрахирате от формите, свойствата и значението на обектите, след което можете да направите някои действия с тези обекти под формата на естествени номера. Така се ражда аритметиката на числата, която се развива и разширява и заема все по-големи позиции в живота на обществото.

Подобни дълбоки понятия за числа, като нулев и отрицателен брой, фракции, цифрови обозначения по брой и други начини, имат най-богатата и най-интересна история на развитието.

Аритметични и практични египтяни

Двамата най-стари човешки спътници в изследването на околния свят и решаването на ежедневните проблеми са аритметика и геометрия.

Смята се, че историята на аритметиката произхожда от Древния Изток: в Индия, Египет, Вавилон и Китай. По този начин, папирусът на Rinda от египетски произход (наречен така, защото принадлежал на собственика със същото име), датира от XX век. Пр.н.е., с изключение на други ценни данни, съдържа разлагането на една фракция със сумата от фракции с различни знаменатели и числител равен на един.

Например: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Но какъв е смисълът на толкова сложно разлагане? Факт е, че египетският подход не може да толерира абстрахираното мислене за числата, напротив, изчисленията са направени само за практически цели. Тоест, египтянинът ще се занимава с такива изчисления, например само за да построи гробница. Беше необходимо да се изчисли дължината на ръба на конструкцията и това принуди човека да седна на папируса. Очевидно египетският прогрес в изчисленията е бил причинен по-скоро от масивна конструкция, отколкото от любов към науката.

По тази причина изчисленията, намерени на папирий, не могат да се наричат отражения върху фракциите. Най-вероятно това е практическа поръчка, която в бъдеще е помогнала да се решат проблемите с фракциите. Древните египтяни, които не познавали таблиците за размножаване, произвеждат доста дълги изчисления, разлагани на много под-задачи. Може би това е една от тези подзадачи. Не е трудно да се види, че изчисленията с такива препарати са много трудоемки и с малка вероятност. Може би, поради тази причина, не виждаме големия принос на Древен Египет за развитието на математиката.

Древна Гърция и философска аритметика

Много от познанията за древния Изток са успешно овладени от древните гърци, известни любовници на абстрактни, абстрактни и философски отражения. Практиката на тях не е толкова интересна, но е трудно да се намерят най-добрите теоретици и мислители. Това е в полза на науката, тъй като е невъзможно да се заровим в аритметика, без да я прекъсваме с реалността. Разбира се, можете да умножите 10 крави и 100 литра мляко, но няма да можете да отидете далеч.

Мислейки дълбоко гърците оставиха значителен белег в историята и техните писания ни достигнаха:

• Евклид и "Началото".
• Питагор.
• Архимед.
• Ератостен.
• Zenon.
• Анаксагор.

И, разбира се, гърците, обръщащи всичко на философия, и по-специално продължателите на питагорейския случай, бяха толкова запалени от числата, които смятаха, че те са тайната на хармонията на света. Номерата са изследвани и проучени, че на някои от тях и на техните двойки са приписани специални свойства. Например:

• Перфектните числа са тези, които са равни на сумата от всичките им делители, с изключение на самото число (6 = 1 + 2 + 3).
• Приятелските числа са числа, единият от които е равен на сумата от всички делители на втория и обратно (питагорейците са знаели само една такава двойка: 220 и 284).

Гърците, които вярваха, че науката трябваше да бъде обичана и да не бъде с нея заради печалбата, постига голям успех, изследва, играе и добавя цифри. Трябва да се отбележи, че не всички открития са намерили широко приложение, някои от тях остават само "за красота".

Източни мислители от Средновековието

По същия начин, в средновековието, аритметиката дължи развитието си на съвременните съвременници. Индианците ни дадоха фигури, които активно използваме, такъв термин като "нула" и позиционна версия на смятащата система, която е позната на съвременното възприятие. От ал-каша, който работи в Самарканд през 15 век, наследихме десетични знаци, без които трудно можем да си представим модерната аритметика.

В много отношения познаването на Европа с постиженията на Изтока стана възможно благодарение на работата на италианския учен Леонардо Фибоначи, който написа книгата "The Abacus Book", представяйки източните нововъведения. Тя се превърна в крайъгълен камък на развитието на алгебра и аритметика, изследователска и научна дейност в Европа.

Руски аритметика

И накрая, аритметика, която намери своето място и вкоренена в Европа, започна да се разпространява в руските земи. Първата руска аритметика е публикувана през 1703 г. - това е книга за аритметиката на Леонти Манитски. От дълго време тя остана единственото учебно ръководство по математика. Той съдържа началните моменти на алгебра и геометрия. Фигури, които използват в примерите първата в Русия учебник по аритметика, арабски. Въпреки че арабските цифри са се срещали по-рано, на гравюри от 17-ти век.

Самата книга е украсена с образи на Архимед и Питагор, а на първия лист - образ на аритметика под формата на жена. Тя седи на трона, под еврейската дума е написано думата, обозначаваща Божието име, и на стъпките, които водят към трона, са изписани думите "разделение", "умножение", "добавяне" и т.н. Може да си представите значението предадено Такива истини, които сега се считат за обичайни.

Учебникът от 600 страници описва както основите като таблицата за добавяне и умножение, така и приложенията към навигационните науки.

Не е изненадващо, че авторът е избрал изображения на гръцки мислители за неговата книга, защото самият той е бил пленен от красотата на аритметиката, казвайки: "Аритметиката е числител, има честно, неосъществено изкуство ...". Този подход към аритметиката е напълно оправдан, защото широкото му въвеждане може да се счита за началото на бързото развитие на научната мисъл в Русия и общото образование.

Необичайни първични номера

Премиерният номер е естествено число, което има само 2 положителни делителя: 1 и самия. Всички други номера, без да броим 1, се наричат композитни. Примери за премиерни номера: 2, 3, 5, 7, 11 и всички останали, които нямат други делители, освен числото 1 и самият ти.

Що се отнася до номер 1, той е на специална сметка - има убеждение, че не трябва да се счита нито за проста, нито за сложна. Простият на пръв поглед прост номер крие много неразкрити мистерии в себе си.

Теоремата на Евклид казва, че премиерните числа са безкраен набор и Ератостен излезе със специално аритметично "сито", което издига неспокойни числа, оставяйки само прости.

Същността му е да подчертае първия не-подчертан номер и в бъдеще да изтрие тези, които са многобройни за него. Ние повтаряме тази процедура многократно и получаваме таблица с първокласни номера.

Основната теорема на аритметиката

Сред наблюденията върху първокласни номера трябва да споменем по специален начин основната теорема на аритметиката.

Основната теорема на аритметиката казва, че всяко цяло число по-голямо от 1 е или просто, или може да бъде разложено на продукт от примеси в рамките на реда на факторите по уникален начин.

Основната теорема на аритметиката се оказва доста тромава и нейното разбиране вече не е сходно с най-простите основи.

На пръв поглед първичните номера са елементарна концепция, но това не е така. Физиката също така някога е смятала атома за елементарна, докато не намери в нея цяла вселена. Красивата история на математика Дон Цагир "Първите петдесет милиона премиера" е посветена на първокласни номера.

От "три ябълки" до дедуктивни закони

Това, което наистина може да се нарече подсилена основа на цялата наука, е законите на аритметиката. Като дете всички се сблъскват с аритметика, изучавайки броя на краката и кошарите в кукли, броя кубчета, ябълки и т.н. Така че ние изучаваме аритметика, която се придържа към по-сложни правила.

Целият ни живот ни запознава с правилата на аритметиката, които за обикновения човек са станали най-полезното от всичко, което науката дава. Изследването на числата е "аритметично-бебе", което въвежда човек в света на числата под формата на числа в ранна детска възраст.

По-високата аритметика е дедуктивна наука, която изучава законите на аритметиката. Повечето от тях знаем, въпреки че може би не знаем техните точни формулировки.

Законът за добавяне и умножение

Всяко две естествено число a и b може да бъде изразено като + b, което също е естествено число. По отношение на добавянето се прилагат следните закони:

• Комутивна, която казва, че сумата не се променя от пермутацията на summands на места, или a + b = b + a.
• Асоциативен , който казва, че сумата не зависи от начина на групиране на summands на места, или + (b + c) = (a + b) + c.

Правилата на аритметиката, като добавянето, са част от елементарното, но те се използват от всички науки, да не говорим за ежедневието.

Всяко естествено число a и b може да бъде изразено в продукта a * b или a * b, който също е естествено число. За продукта се прилагат същите комутативни и асоциативни закони, както и:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Интересно е, че съществува закон, който съчетава добавянето и умножаването, наричани също разпределително или разпределително право:

A (b + c) = ab + ac

Този закон всъщност ни учи да работим с скоби, разкривайки ги, така че можем да работим с по-сложни формули. Това са точно законите, които ще ни ръководят през странния и сложен свят на алгебра.

Законът на аритметичния ред

Законът за реда използва всеки ден човешката логика, сравнявайки часовниците и сметките за преброяване. И все пак и тя трябва да бъде формализирана под формата на конкретни формулировки.

Ако имаме два естествени числа a и b, тогава са възможни следните опции:

• А е b или a = b;
• А е по-малко от b, или a
• А е по-голямо от b, или a> b.

От трите варианта само един може да бъде справедлив. Основният закон, който управлява реда, казва: ако

Има и закони, които свързват реда с действията на умножаване и добавяне: ако

Законите на аритметиката ни учат да работим с номера, знаци и скоби, превръщайки всичко в хармонична симфония на числата.

Позитивни и непозиционни системи за изчисление

Можем да кажем, че числата са математически език, от удобството, от което зависи много. Има много системи за смятане, които, както и азбуките на различни езици, се различават един от друг.

Помислете системата брой от гледна точка на позициите на въздействието върху количествената стойност на цифрата в това положение. Например Roman система е nonpositional където всеки брой е кодирана от определен набор от специални символи: I / V / X / L / C / D / М. Те са, съответно, номерата 1/5/10/50/100/500 / 1000. В тази система, цифрата не се променя нейното количествено определяне, в зависимост от това, което би трябвало позиция: .. На първи, втори и т.н. За да получите други числа, то е необходимо да се определят на базата. Например:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Още познат ни бройна система с помощта на арабски цифри е позиционна. В такава система броят на освобождаване определя броя на цифри, например, три-цифрени номера: 333, 567 и т.н. Теглото на всеки от изпълнението зависи от позицията, на която на фигурата е една или друга, например фигура 8 във второто положение има стойност 80. Тя е типична за десетичната система, има и други позиционна система като двоичен.

двоична аритметика

Ние сме запознати десетичната система, състояща се от от един бит и мулти-битови числа. Фигурата в ляво в номера на цифра е десет пъти по-голям по-голямо значение на тази отдясно. Така че, ние се използва за четене 2, 17, 467, и така нататък. D. Тя е различна логика и подход секция, която се нарича "двоична аритметика". Това не е изненадващо, тъй като двоична аритметика не е създаден за човешката логика, и за компютъра. Ако аритметиката на номера произхожда от преброяването, което допълнително се абстрахира от дадената собственост на "голи" аритметика, то това няма да работи с вашия компютър. За да можете да споделите знанията си с компютъра, човек трябваше да се измисли изчисление модел.

Binary аритметика работи с двоична азбука, която се състои само от 0 и 1. И използването на тази азбука се нарича двоична система.

За разлика от двоична аритметика десетичната че значението на позицията на ляво вече не са 10, а 2 пъти. Двоични числа са на формата 111, 1001 и така нататък. Г. Как трябва да разбираме тези номера? По този начин, ние считаме, броят 1100

1. Първата цифра в ляво - 1 * 8 = 8, като се има предвид, че четвъртата цифра, което означава, че тя трябва да бъде умножена по две, получаваме 8-ма позиция.
2. Втората цифра 1 * 4 = 4 (позиция 4).
3. Третата цифра 0 * 2 = 0 (позиция 2).
4. Четвъртата цифра 0 * 1 = 0 (позиция 1).
5. Така че нашият номер 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Това означава, че преходът към нова категория от ляво на неговата значимост в двоична система се умножава по 2 и десетичната - до 10 Такава система има един недостатък: тя е твърде големи бита на растеж, които се изискват, за да запише номера. Примери десетични числа dvochinyh както може да се види в следната таблица.

Десетични числа са представени в двоична форма по-долу.

Тя се използва и осмична и шестнадесетична система за номериране.

Този тайнствен аритметика

Какво е аритметика, "две плюс две" или неизследвани мистерии на номера? Както можете да видите, аритметика, може, и изглежда на пръв поглед прост, но това не е очевидно, измамна лекота. Възможно е да се учат децата, и заедно с леля Owl от анимационен филм "Аритметика-бебе", и можете да се потопите в дълбокия научните изследвания почти философски ред. В историята той е отишло от преброяване обекти, за да се поклонят на красотата на номера. Едно нещо е сигурно: с установяването на основните постулати на аритметиката, всички науката може да разчита на силна й рамо.