Проблеми, решени с помощта на уравнението. Решаване на проблеми в математиката

В хода на училищната математика винаги има проблеми. Някои са опитомени в няколко акта, други изискват някакъв пъзел.

Проблемите, решени с помощта на уравнението, са трудни само на пръв поглед. Ако практикувате, този процес ще достигне до автоматизацията.

Геометрични форми

За да разберете въпроса, трябва да разберете същността. Внимателно прочетете състоянието, по-добре е да го препрочетете няколко пъти. Проблемите на уравненията са трудни само на пръв поглед. Да разгледаме пример за началото най-прости.

При даден правоъгълник, трябва да намерите неговия район. Като се има предвид: ширината е 48% по-малка от дължината, периметърът на правоъгълника е 7,6 сантиметра.

Решаването на проблеми в математиката изисква внимателно четене, логика. Нека да се справим заедно. Какво трябва да вземете предвид преди всичко? Обозначете дължината на x. Ето защо в нашето уравнение ширината е 0.52x. На нас е дадено периметър - 7.6 см. Нека да намерим половин-периметър, за този 7.6 см ние разделяме на 2, той е равен на 3.8 сантиметра. Получихме уравнение, с помощта на което намираме дължината и ширината:

0.52х + х = 3.8.

Когато получим x (дължина), няма да е трудно да намерим 0.52x (ширина). Ако познаваме тези две количества, ще открием отговора на основния въпрос.

Проблемите, решени с помощта на уравнението, не са толкова сложни, колкото изглеждат, че можем да разберем това от първия пример. Открихме дължината х = 2,5 сантиметра, ширината (ще определим y) 0,52x = 1,3 сантиметра. Минаваме до площада. Открива се от простата формула S = x * y (за правоъгълници). В нашия проблем S = 3.25. Това ще бъде отговорът.

Нека разгледаме някои примери за решаване на проблеми с намирането на област. И този път вземаме правоъгълник. Решаването на проблеми в математиката по намирането на периметъра, областта на различните фигури е доста често. Прочитаме състоянието на проблема: даден е правоъгълник, дължината му е 3,6 сантиметра по-голяма от ширината, която е 1/7 от периметъра на фигурата. Намерете областта на този правоъгълник.

Ще бъде удобно да се обозначи ширината на променливата x и дължината на ( х + 3.6) сантиметра. Да намерим периметъра:

P = 2x + 3.6 .

Не можем да решим уравнението, тъй като имаме две променливи в него. Затова отново гледаме състоянието. Казва, че ширината е 1/7 от периметъра. Получаваме уравнението:

1/7 (2x + 3,6) = х .

За удобство на решението, умножете всяка част от уравнението с 7, за да се отървем от фракцията:

2x + 3.6 = 7 пъти.

След решението, получаваме x (ширина) = 0.72 сантиметра. Познавайки ширината, намираме дължината:

0.72 + 3.6 = 4.32 cm.

Сега знаем дължината и ширината, отговаряме на основния въпрос за това, което е равно на областта на правоъгълника.

S = х * у , S = 3,1104 cm.

Тръбички с мляко

Решаването на проблеми с помощта на уравнения предизвиква много трудности за учениците, въпреки че тази тема започва в четвърти клас. Има много примери, погледнахме в намирането на областта на фигурите, сега малко разсеяна от геометрията. Нека да разгледаме прости задачи с табулация, те визуално помагат: така че данните, които помагат в решението, се виждат по-добре.

Поканете децата да прочетат състоянието на проблема и да създадат таблица, която да ви помогне да съставите уравнението. Ето условието: има две кутии, в първите три пъти повече мляко, отколкото във втората. Ако първото излее пет литра във втората, млякото ще бъде равномерно разделено. Въпрос: Колко мляко е било във всяка кутия?

За да помогнете с решението, трябва да създадете таблица. Как изглежда?

Решението

	Това беше	стана
1 може	3	3-5
2 кутии	х	X + 5

Как това помага при формулирането на уравнението? Знаем, че в резултат на това млякото е станало равно, така че уравнението ще изглежда така:

3х-5 = х + 5;

2x = 10;

X = 5.

Открихме първоначалното количество мляко във втората кутия, което означава, че в първата има: 5 * 3 = 15 литра мляко.

Сега малко обяснение за съставянето на таблицата.

Защо определихме първата кутия за 3 пъти: при условието, че второто мляко може да е три пъти по-малко. След това четем, че 5 литра са изтеглени от първия контейнер, затова той стана 3x-5 , а във втория те наляха: x + 5 . Защо ние приравняваме тези условия? В условията на задачата се казва, че млякото е станало равно.

Така че получаваме отговора: първото оръдие е 15 литра, а второто - 5 литра мляко.

Определяне на дълбочината

Състоянието на проблема: дълбочината на първия кладенец е с 3.4 метра по-голяма от втората. Първият кладенец е увеличен с 21.6 метра, а вторият - три пъти, след тези действия кладенците имат същата дълбочина. Необходимо е да се изчисли каква дълбочина е имало всяко ямка първоначално.

Методите за решаване на проблемите са многобройни, могат да се направят действия, да се създадат уравнения или тяхната система, но вторият вариант е най-удобен. За да преминем към решението, ние създаваме таблица, както в предишния пример.

Решението

	Това беше	стана
1 ямка	X + 3.4	X + 3.4 + 21.6
2 ямки	х	3

Сега се обръщаме към формулирането на уравнението. Тъй като ямките са със същата дълбочина, тя има следната форма:

X + 3.4 + 21.6 = 3х;

X = 3х = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12.5

Намерихме първоначалната дълбочина на второто кладенец, сега можем да намерим първата:

12,5 + 3,4 = 15,9 м.

След извършените действия ние задаваме отговора: 15,9 м, 12,5 м.

Двама братя

Обърнете внимание, че тази задача се различава от всички предишни, защото първоначално имаше същия брой обекти. Като се започне от това, помощната маса е съставена в обратен ред, т.е. от "стана" до "е".

Състояние: двама братя получиха равен брой ядки, но по-възрастният даде брат си 10, след което ядките на по-младите станаха пет пъти по-големи. Колко ядки има за всяко момче?

Решението

	Това беше	стана
старши	Х + 10	х
по-млади	5х - 10	5х

Ние формираме уравнението:

X + 10 = 5х-10;

-4х = -20;

Х = 5 - стана ядка в по-големия брат;

5 * 5 = 25 - по-малкият брат.

Сега можете да напишете отговора: 5 ядки; 25 ядки.

покупка

Училището трябва да купува книги и преносими компютри, първото по-скъпо от второто - 4,8 рубли. Трябва да изчислите колко струва едно копие и една книга, ако сте купили една и съща сума с пет книги и двадесет и един преносими компютри.

Преди да се стигне до решение, струва си да отговорите на следните въпроси:

• Какъв е проблемът в проблема?
• Колко плащаха?
• Какво си купил?
• Какви стойности могат да бъдат изравнени?
• Какво трябва да знаете?
• Каква е стойността на x ?

Ако сте отговорили на всички въпроси, ще се обърнем към решението. В този пример стойността на x може да се приеме като цената на един преносим компютър и цената на книгата. Да разгледаме два възможни варианта:

1. X е цената на един преносим компютър, а след това х + 4,8 е цената на книгата. Изхождайки от това, получаваме уравнението: 21х = S (х + 4.8).
2. X е цената на книгата, тогава x е 4,8 е цената на бележника. Уравнението има формата: 21 (x - 4.8) = 5x.

Можете да изберете по-удобна опция за себе си, след това да решите две уравнения и да сравните отговорите, те трябва да съвпадат като цяло.

Първият начин

Решението на първото уравнение:

21х = 5 (х + 4,8);

4,2х = х + 4,8;

4,2х - х = 4,8;

3,2х = 4,8;

Х = 1,5 (рубли) - цена на един преносим компютър;

4.8 + 1.5 = 6.3 (рубли) - цената на една книга.

Друг начин за решаване на това уравнение (отваряне на скоби):

21х = 5 (х + 4,8);

21х = 5х + 24;

16х = 24;

Х = 1,5 (рубли) - цена на един преносим компютър ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (рубли) - цената на една книга.

Вторият начин

5х = 21 (х = 4.8);

5х = 21х - 100.8;

16х = 100.8;

Х = 6,3 (рубли) - цена на 1 книга;

6.3 - 4.8 = 1.5 (рубли) - цената на един преносим компютър.

Както може да се види от примерите, отговорите са идентични, поради което проблемът се решава правилно. Внимавайте за верността на решението, в нашия пример, отговорите не трябва да бъдат отрицателни.

Има и други проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на уравнение, например на движение. Нека ги разгледаме по-подробно в следващите примери.

Две коли

В този раздел ще обсъдим задачите на движението. За да можете да ги разрешите, трябва да знаете следното правило:

S = V * T,

S е разстоянието, V е скоростта и T е времето.

Нека се опитаме да разгледаме един пример.

Две автомобила са изтеглени едновременно от точка А до точка Б. Първото пътувало по цялото разстояние със същата скорост, втората половина на пътя пътувала със скорост 24 км / ч, а втората - 16 км / ч. Необходимо е да се определи скоростта на първия шофьор, ако в точка Б те се появят едновременно.

Какво трябва да съставим уравнението: главна променлива V ₁ (скорост на първата кола), вторична: S - път, T ₁ - време в пътя на първата кола. Уравнение: S = V ₁ * T _{1 .}

Следващата: втората кола първата половина на пътя (S / 2) се качи със скорост V ₂ = 24 km / h. Получаваме израз: S / 2 = 24 * T _{2 .}

Следващата част от начина, по който той кара със скорост V ₃ = 16 km / h. Получаваме S / 2 = 16 * Т3 .

Освен това е ясно, че автомобилите са пристигнали едновременно, оттук и T ₁ = T ₂ + T ₃ . Сега трябва да изразим променливите Т1, Т2, T ₃ от предишните ни условия. Получаваме уравнението: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S се приема като единство и решаваме уравнението:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V1 = (2/96) + (3/96);

1 / V1 = 5/96;

V1 = 96/5;

V ₁ = 19,2 km / h.

Това е отговорът. Проблемите, решени с помощта на уравнението, са сложни само на пръв поглед. В допълнение към гореизложеното, можете да изпълнявате задачи по работа, какво е, помислете в следващата секция.

Предизвикателство за работа

За да разрешите този тип задача, трябва да знаете формулата:

A = VT ,

Където А е работата, V е производителността.

За по-подробно описание трябва да дадете пример. Темата "Решаване на проблеми с уравнение" (степен 6) може да не съдържа такива проблеми, тъй като това е по-сложно ниво, но въпреки това даваме пример за познаване.

Внимателно прочетете условието: двама работници работят заедно и планират да изпълняват в продължение на дванадесет дни. Необходимо е да се определи колко време ще се наложи първият служител да изпълни сами тази норма. Известно е, че той изпълнява сумата на труда за два дни като втори служител за три дни.

Решаването на проблеми при формулирането на уравнения изисква внимателно прочитане на състоянието. Първото нещо, което разбрахме от задачата, че работата не е определена, означава, че я приемаме като единица, т.е. А = 1 . Ако проблемът се отнася до определен брой части или литри, тогава работата трябва да се вземе от тези данни.

Ние обозначаваме производителността на първия и втория работници чрез V ₁ и V _2, съответно на този етап, е възможно следното уравнение:

1 = 12 (V1 + V2) .

Какво ни казва това уравнение? Че цялата работа се извършва от двама души след дванадесет часа.

Освен това можем да посочим: 2V ₁ = 3V ₂ . Тъй като първото в продължение на два дни прави толкова, колкото и второто от три. Получихме система от уравнения:

1 = 12 (V1 + V2);

2V ₁ = 3V _2.

Въз основа на решението на системата получихме уравнение с една променлива:

1 - 8V ₁ = 12V _1;

V1 = 1/20 = 0.05.

Това е производителността на труда на първия работник. Сега можем да намерим времето, за което първият човек ще се справи с цялата работа:

А = V1 * Т1 _;

1 = 0,05 * Т1;

Т1 = 20.

Тъй като денят е взет като единица от време, отговорът е: 20 дни.

Преформулиране на проблема

Ако сте усвоили уменията си за решаване на проблемите с трафика и имате някои трудности при задачите за работа, тогава е възможно трафикът да е от работа. По какъв начин? Ако вземем последния пример, условието е следното: Олег и Дима се придвижват един към друг, срещат се за 12 часа. Колко ще преодолеят пътя независимо Олег, ако е известно, че след два часа пътува по пътя, равен на пътя на Дима, след три часа.