Уравнение на равнината: как да се състави? Видове равнинни уравнения

пространство равнина може да се определи по различни начини (една точка и вектор, векторът и двете точки, три точки, и т.н.). Тя е с оглед на това, уравнение самолет може да има различни видове. Също така при определени условия равнина може да бъде паралелно, перпендикулярна, пресичащи се и т.н. На тази и ще говорим в тази статия. Ние ще се научат да правят общото уравнение на равнината и не само.

Нормалната форма на уравнението

Да предположим, че R е пространство _3, което е с правоъгълна XYZ координатна система. Ние дефинираме вектор α, които ще бъдат освободени от началната точка О. до края на векторни алфа тегленето равнина Р, която е перпендикулярна на нея.

Означаваме P в произволна точка Q = (X, Y, Z). Векторът на радиус от точка Q знак писмо п. Дължината на вектора равнява α р = IαI и Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Този единичен вектор, който е насочен по посока като вектор α. α, β и γ - са ъгли, които се образуват между вектора и положителните направления Ʋ пространство оси X, Y, Z, съответно. Проекцията на точка на вектор QεP Ʋ е константа, която е равна на р (р, Ʋ) = р (r≥0).

В горното уравнение е значима, когато р = 0. Единственият п равнината, в този случай, ще премине точка O (α = 0), която е произход, и единичен вектор Ʋ, освободен от точка O ще бъде перпендикулярна P, въпреки своята посока, което означава, че определена вектор Ʋ на до знака. Предишна уравнение е нашият самолет P, изразено в вектор форма. Но от гледна точка на нейните координати е:

Р е по-голямо от или равно на 0. Ние открихме равнината уравнението в нормална форма.

Общото уравнение

Ако уравнението в координатите умножете по всяко число, което не е равно на нула, ние получаваме уравнение, еквивалентна на тази, която определя много самолета. Той ще има следния вид:

Тук, A, B, C - е броят на едновременно различни от нула. Това уравнение се нарича уравнението на общата форма на самолета.

Уравненията на самолетите. Специални случаи

Уравнението обикновено може да бъде модифициран с допълнителни условия. Помислете за някои от тях.

Да приемем, че коефициента на е 0. Това показва, че равнината, успоредна на предварително определена ос Ox. В този случай формата на уравнението променя: У + Cz + D = 0.

По същия начин, под формата на уравнение и ще варират в зависимост от следните условия:

• Първо, ако В = 0, промени уравнение до Ах + Cz + D = 0, което ще показват сходството на оста Oy.
• Второ, ако С = 0, уравнението се трансформира в Ах + С + D = 0, тоест около успоредна на предварително определена ос Оз.
• Трето, ако D = 0, уравнението ще се появи като Ах + С + Cz = 0, което означава, че равнината пресича О (произхода).
• Четвърто, ако А = В = 0, промени уравнение до Cz + D = 0, които ще се окажат паралелизъм Oxy.
• Пето, ако В = C = 0, уравнението става Ах + D = 0, което означава, че равнина е успоредна Oyz.
• Шесто, ако А = C = 0, уравнението е под формата Wu + D = 0, т.е. докладва Oxz на успоредност.

Форма на уравнението в сегменти

В случая, когато номера А, В, С, D е различен от нула, под формата на уравнение (0) може да бъде, както следва:

х / а + г / б + Z / с = 1,

където А = -D / А, В = -D / B, C = -D / С

Ние получаваме в резултат уравнение на равнината на парчета. Трябва да се отбележи, че тази равнина ще се пресичат оста х в точка с координатите (а, 0,0), Oy - (0, В, 0) и Оз - (0,0, S).

Предвид уравнение х / а + г / б + Z / с = 1, не е трудно да се визуализира разположение равнина спрямо предварително определена координатна система.

Координатите на нормален вектор

нормален вектор п към равнината Р има координати, които са коефициентите на общото уравнение на равнината, т.е. N (А, В, С).

За да се определи координатите на нормалния н, е достатъчно да се знае общото уравнение даден самолет.

При използване на уравнението на сегменти, която има форма х / а + г / б + Z / с = 1, като при използване на обща формула могат да бъдат написани координати на всеки нормален вектор дадена равнина: (1 / а + 1 / б + 1 / в).

Трябва да се отбележи, че нормалата да помогне за решаване на различни проблеми. Най-често срещаните проблеми са, състоящи се в доказателство перпендикулярно или успоредно самолети, задачата за намиране ъглите между самолетите или ъглите между самолетите и прави линии.

Тип съгласно уравнението на равнина и координатите на точка нормален вектор

Ненулева вектор п, перпендикулярна на дадена равнина, наречен нормален (нормална) до предварително определена равнина.

Да предположим, че в координатната пространство (правоъгълна координатна система) Oxyz зададете:

• Mₒ точка с координатите (hₒ, uₒ, zₒ);
• нулев вектор п = A * I + B * й + C * к.

Трябва да направите уравнение на равнина, която преминава през Mₒ точка перпендикулярна на нормалното н.

В пространството изберем произволна точка и означават М (х, у, Z). Нека радиус вектор от всяка точка М (х, у, Z) ще бъде г = х * I + у * й + Z * к и радиус вектор от точка Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ * й + zₒ * к. точка M ще принадлежат към дадена равнина, ако вектор MₒM за да е перпендикулярна на вектор п. Пишем състоянието на ортогоналните помощта на скаларна продукта:

[MₒM, п] = 0.

Тъй MₒM = R-rₒ, вектор уравнението на равнината ще изглежда така:

[R - rₒ, п] = 0.

Това уравнение може също така да има и друга форма. За тази цел, свойствата на скаларен продукт, и се превръща в лявата страна на уравнението. [R - rₒ, п] = [г, п] - [rₒ, п]. Ако [rₒ, п] обозначена като S, ние получаваме следното уравнение: [R, п] - а = 0 или [R, п] = S, която експресира постоянството на проекциите на нормалното вектор от радиус-вектора на дадените точки, които принадлежат равнина.

Сега може да се координатната запис тип равнина нашия вектор уравнение [R - rₒ, п] = 0. Тъй като R-rₒ = (х-hₒ) * I + (у-uₒ) * J + (Z-zₒ) * к, и п = A * I + B * й + C * к, имаме:

Оказва се, че имаме уравнението се образува равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормална N:

A * (х hₒ) + B * (у uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Въведете в съответствие с уравнението на самолет и координатите на две точки от вектор самолет лежат на една права на

Ние дефинираме две произволни точки M "(X ', Y', Z ') и М" (X ", Y", Z "), както и вектора (а', а", а ‴).

Сега може да напише уравнение предварително определена равнина, която преминава през съществуваща точка M "и т", и всяка точка с координатите М (х, у, Z), успоредни на даден вектор.

Така M'M вектори х = {X ', Y-Y'; ZZ '} и М "М = {х" -x', Y 'Y'; Z "-Z '} трябва да бъде в една равнина с вектора а = (а ', а ", а ‴), което означава, че (M'M М" М, а) = 0.

Така че нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:

Вид на самолет уравнение, пресичайки три точки

Да кажем, че имаме три точки: (х ', Y', Z '), (х', Y ', Z'), (х ‴ Have ‴, Z ‴), които не принадлежат към една и съща линия. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през три точки са посочени. геометрия теория твърди, че този вид самолет не съществува, това е просто една единствена. От тази равнина пресича точка (х ', Y', Z '), неговата уравнение форма ще бъде:

Тук, А, В и С са различни от нула в същото време. Също така се има предвид равнина пресича още две точки (х ", Y", Z ") и (х ‴, у ‴, Z ‴). В тази връзка следва да се извършва този вид условия:

Сега можем да се създаде единна система от уравнения (линейни) с неизвестни U, V, W:

В нашия случай X, Y или Z означава произволна точка, която удовлетворява уравнението (1). Като се има предвид уравнение (1) и система от уравнения (2) и (3) на системата от уравнения, посочени на фигурата по-горе, вектор отговаря N (А, В, С), който е nontrivial. Това е така, защото определящ фактор на системата е равна на нула.

Уравнение (1), че ние имаме, това е уравнението на самолета. 3 точка тя наистина отива, и е лесно да се провери. За да направите това, ние разширяваме детерминантата от елементите в първия ред. На съществуващите свойства определящ следва, че нашата равнина едновременно пресича три първоначално предварително определена точка (х ', Y', Z '), (х ", Y", Z "), (х ‴, у ‴, Z ‴). Затова решихме да бъде възложена задачата пред нас.

Двустенния ъгъл между равнините

Двустенния ъгъл е геометрична форма пространствената образувана от две половинки равнини, които произтичат от права линия. С други думи, част от пространството, което е ограничено до половин равнини.

Да предположим, че имаме два самолета с помощта на следното уравнение:

Знаем, че вектор N = (А, В, С) и N¹ = (¹, H¹, S¹) съгласно предварително определени равнини са перпендикулярни. В тази връзка, ъгълът φ между вектори N и N¹ равен ъгъл (двустенна), който се намира между тези равнини. В скаларен продукт се получава от:

NN¹ = | N || N¹ | COS φ,

именно защото

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Достатъчно е да се помисли, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват две ъгъл (двустенна): ф ₁ и _{2 φ.} Тяхната сума е равна на П (φ ₁ + ₂ φ = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но те са с различни знаци, че е, защото ф ₁ = -cos φ _2. Ако в уравнението (0) се заменя с А, В и С от -А, -С -В и съответно, уравнението, ние получаваме, ще определи една и съща равнина, само ъгъл φ в уравнение COS φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Той ще бъде заменен от π-φ.

Уравнението на перпендикулярната равнина

Наречен перпендикулярна равнина, между които ъгълът е 90 градуса. С помощта на представената по-горе материал, можем да намерим уравнението на равнината, перпендикулярна на другата. Да предположим, че имаме две равнини: Ах + С + D + Cz = 0 и + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Можем да кажем, че те са ортогонални, ако COS = 0. Това означава, че NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Уравнението на паралелна равнина

Тя се позова на две паралелни равнини, които не съдържат точки общо.

Състоянието на успоредни равнини (техните уравнения са същите, както в предходния параграф) е, че векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, колинеарни. Това означава, че следните условия са изпълнени пропорционалност:

A / ¹ = В / С = H¹ / S¹.

Ако пропорционални термини се разширява - A / ¹ = В / С = H¹ / S¹ = ий,

това показва, че самолетът на данни от един и същ. Това означава, че уравнение Ах + С + D + Cz = 0 и + A¹h V¹u S¹z + + й = 0 опише една равнина.

Разстоянието от точка до равнина

Да предположим, че има равнина Р, която се дава от (0). Необходимо е да се намери разстоянието от точка с координатите (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Трябва да се приведе в уравнението по нормален вид самолет II, за да го направите:

(Ρ, о) = Р (r≥0).

В този случай, ρ (X, Y, Z) е радиус вектора на нашата точка Q, разположен на п р - п е дължината на перпендикуляра, който е освободен от нулевата точка, о - е единична вектор, който е разположен по посока на.

разлика ρ-ρº радиус вектор от точка Q = (X, Y, Z), принадлежащи към п и радиус вектора на дадена точка Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) е такъв вектор, абсолютната стойност на изпъкналостта на която на о е равно на разстоянието D, което е необходимо да се намери от Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) за P:

D = | (ρ ^ρ-0, х) |, но

(Ρ-ρ ^0, о) = (ρ, о ) - (ρ ^0, о) = Р (ρ ^0, о).

Така се оказва,

г = | (ρ ^0, о) р |.

Сега е ясно, че за изчисляване на разстояние D от ₀ до Q равнина Р, е необходимо да се използва нормален изглед равнина уравнение, преминаването отляво на р, и на последно място от X, Y, Z заместител (hₒ, uₒ, zₒ).

По този начин, ние откриваме, абсолютната стойност на получения експресията, която се изисква г.

Използването на параметрите на език, ние получаваме очевидното:

г = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (² + V² + s²).

Ако определена точка Q ₀ е от другата страна на равнината Р за начало, след това между вектора ρ-ρ ⁰ и V е тъп ъгъл, по следния начин:

г = - (ρ-ρ ^0, о) = (ρ ^0, о) -р> 0.

В случая, когато Q точка _0, във връзка с произхода разположен от същата страна на U, с остър ъгъл е създаден, че е:

D = (ρ-ρ ^0, о) = р - (ρ ^0, о)> 0.

Резултатът е, че в първия случай (ρ ^0, о)> р, във втория (ρ ^0, о) <р.

И равнина, допирателна уравнение му

По отношение на равнината на повърхността в точката на допиране Mº - равнина, съдържащ всички възможни допирателна към кривата изтегля през тази точка на повърхността.

С тази повърхност форма на уравнение F (X, Y, Z) = 0 в уравнението на допирателната равнина, допирателна точка Mº на (hº, uº, zº) ще бъде:

F _х (hº, uº, zº) (hº х) + F _х (hº, uº, zº) (uº у) + F _х (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Ако повърхността е разположен изрично Z = F (х, у), след това допирателната равнина е описан от уравнението:

Z-zº = F (hº, uº) (hº х) + F (hº, uº) (у uº).

Пресечната точка на две равнини

В триизмерното пространство е координатна система (правоъгълна) Oxyz, предвид две равнини P 'и P', които се припокриват и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, която е в правоъгълна координатна система определена от общото уравнение, ние предполагаме, че п 'и п "са определени от уравненията A'x + V'u S'z + + D' = 0 и А" + В х "+ у С "Z + D" = 0. В този случай имаме нормална п '(А', В ', С') на равнината Р 'и нормалната N "(А", В "С") на равнината Р ". Като наш самолет не са успоредни и не съвпадат, а след това тези вектори не лежат на една права. Използването на езика на математиката, ние имаме това състояние може да се запише като: N '≠ н "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * И", λ * В ", λ * C"), λεR. Нека правата линия, която се намира в пресечната точка P "и Р", ще бъдат обозначени с буквата А, в този случай а = P '∩ P ".

и - линия, състояща се от множество точки (общи) равнини Р 'и Р ". Това означава, че координатите на всяка точка, която принадлежи към линия А, трябва да отговаря едновременно на уравнение A'x + V'u S'z + + D '= 0 и А "х + В" + C у "Z + D" = 0. Това означава, че координатите на точка ще бъде определена разтвор на следните уравнения:

Резултатът е, че решението (общата) на тази система от уравнения, ще определи координатите на всяка от точките на линията, която ще действа като точката на пресичане P 'и P ", и да определи ред в координатна система Oxyz (правоъгълна) пространство.