Сборът от ъглите на триъгълник. Теоремата на сумата от ъглите на триъгълник

Триъгълникът е многоъгълник с три страни (три ъгъла). Най-често от страна обозначен с малки букви, съответстващи главни букви, които представляват противоположни върхове. В тази статия ще разгледаме в тези видове геометрични фигури, теорема, който определя какво е равна на сумата от ъглите на триъгълник.

Видове големите ъгли

Следните видове многоъгълник с три върхове:

• остроъгълен, при което всички ъгли са остри;
• правоъгълна с един прав ъгъл, отстрани го формоване, по краката, и страната, която е разположена срещуположно на прав ъгъл се нарича хипотенузата;
• тъп когато един ъгъл е тъп ;
• равнобедрен, чиито две страни са равни, и те се наричат странично, а третият - триъгълник с основа;
• равностранен като три равни страни.

свойства

Разпределяне на основните свойства, които са характерни за всеки тип триъгълник:

• срещу най-голямата страна е винаги по-голям ъгъл, и обратно;
• са равни ъгли противоположни равно по големина страна, и обратно;
• във всеки триъгълник има два остри ъгли;
• външен ъгъл по-голям от всеки вътрешен ъгъл който не е свързан към него;
• сумата на всички два ъгъла винаги е по-малко от 180 градуса;
• екстериор ъгъл е равен на сбора от другите два ъгъла, които не са mezhuyut с него.

Теоремата на сумата от ъглите на триъгълник

Теоремата гласи, че ако добавите до всички кътчета на геометрична форма, която се намира в евклидовата равнина, а след това им сума ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем това теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върхове KMN. От другата страна на горната част на M ще проведе пряка успоредна на линията KN (дори и тази линия се нарича Евклид). Трябва да се отбележи точка А, така че точките К и са разположени от двете страни на линията MN. Ние получаваме същия ъгъл на AMS и MUF, които, подобно на интериора, легнете на кръст за да образуват пресичаща MN във връзка с прякото КН и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата от ъглите на триъгълника, разположен във върховете на М и N е равен на размера на ъгъла на СМА. Всички три ъгъла състоят от сума, равна на сумата от ъглите на KMA и MCS. Тъй като данните са вътрешни ъгли спрямо едностранни успоредни линии CL и CM МА в пресичащи се, тяхната сума е 180 градуса. Това доказва теоремата.

резултат

На над горната теорема предполага следния извод: всеки триъгълник има два остри ъгли. За да докаже това, нека да приемем, че тази геометрична фигура има само един малък ъгъл. Можете също така да се предположи, че нито един от ъглите не са остри. В този случай той трябва да е най-малко два ъгъла, чиято величина е равна или по-голяма от 90 градуса. Но след това сумата от ъглите е по-голям от 180 градуса. Но това не може да бъде, тъй като според ъгли на теоремата на сумата от един триъгълник е равен на 180 ° - нито повече, нито по-малко. Това е, което трябва да бъде доказано.

Собственост вътрешни ъгли

Каква е сумата на ъглите на триъгълник, които са външни? Отговорът на този въпрос може да бъде получена чрез прилагане на един от двата начина. Първата е, че трябва да се намери сумата от ъглите, които се вземат по едно на всеки връх, тоест три ъгъла. Второто означава, че трябва да се намери сумата от всички шест ъгли при върховете. За да се справят с началото на първия вариант. По този начин, триъгълник съдържа шест външни ъгли - в горната част на всяка от двете. Всяка двойка има равни ъгли между тях, тъй като те са вертикално:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това, известно е, че външния ъгъл на триъгълник е равен на сбора на две интериора, които не са mezhuyutsya с него. Ето защо,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

От това става ясно, че сумата на външните ъгли, които са взети един по един в близост до всеки връх ще бъде равен на:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 х (∟A + ∟V ∟S +).

Предвид факта, че сумата от ъглите е равен на 180 градуса, може да се твърди, че ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 ° = 360 °. Ако се използва втория вариант, сумата от шестте ъгли ще бъде съответно по-голям два пъти. Т.е. сумата от ъглите на триъгълник ще бъде външен:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

правоъгълен триъгълник

Какво е равна на сумата от ъглите на правоъгълен триъгълник, е на острова? Отговорът е, отново, от теорема, която гласи, че ъглите на триъгълник се добавят до 180 градуса. А звук ни твърдение (собственост), както следва: в правоъгълен триъгълник остри ъгли добавят до 90 градуса. Ние доказваме своята достоверност. Да бъде даден триъгълник KMN, което ∟N = 90 °. Необходимо е да се докаже, че ∟K ∟M = + 90 °.

Така, съгласно теоремата на сумата от ъглите ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. В това състояние се казва, че ∟N = 90 °. Оказва се ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Това е ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Това е, което ние сме длъжни да се докаже.

В допълнение към горните свойства на правоъгълен триъгълник, можете да добавите тези:

• ъгли, които се намират срещу краката рязане;
• хипотенузата на триъгълното по-голяма от всеки от краката;
• сумата от краката повече от хипотенузата;
• крак на триъгълника, който се намира точно срещу ъгъла на 30 градуса, като половината от хипотенузата, която е равна на неговата половина.

Като друга собственост на геометричната форма могат да бъдат разграничени Питагоровата теорема. Тя твърди, че в триъгълник с ъгъл от 90 градуса (правоъгълни), сумата от квадратите на краката е равен на квадрата на хипотенузата.

сумата от ъглите на равнобедрен триъгълник

По-рано казахме, че един равнобедрен триъгълник е многоъгълник с три върха, съдържащи две равни страни. Този имот е известно геометрична фигура: ъглите в основата му са равни. Нека да докажат това.

Вземете триъгълника KMN, който е равнобедрен, SC - нейната основа. От нас се изисква да докаже, че ∟K = ∟N. Така че, нека да приемем, че МА - KMN е ъглополовящата на нашия триъгълник. ICA триъгълник с първите признаци на половете е триъгълник MNA. А именно, чрез хипотеза има предвид, че CM = NM, МА е обща страна, ∟1 = ∟2, защото MA - това ъглополовяща. Използването на равнопоставеността на двата триъгълника, може да се твърди, че ∟K = ∟N. Така че теоремата.

Но ние се интересуваме от това, което е сумата от ъглите на триъгълник (равнобедрен). Защото в това отношение не са това, което предлага, ще започнем от теоремата обсъдени по-рано. Това означава, че можем да кажем, че ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, или 2 х ∟K ∟M + = 180 ° (като ∟K = ∟N). Това няма да се окаже на имота, като теоремата на сумата от ъглите на триъгълник се оказа по-рано.

Освен разгледаните свойства на ъглите на триъгълник, има и такива важни отчети:

• в равностранен триъгълник височина, която е била намалена до основата, е едновременно средната ъглополовящата на ъгъла, който е между равни страни и оста на симетрия на основата;
• медиана (ъглополовяща, височина), които се държат на страните на геометрична фигура, са равни.

равностранен триъгълник

Тя се нарича още право, е триъгълник, в който всички страни са равни. И затова също равен и ъгли. Всеки от тях е 60 градуса. Нека докажем този имот.

Нека приемем, че имаме триъгълник KMN. Ние знаем, че КМ = HM = KH. Това означава, че, съгласно собственост на ъглите, разположени в основата на равностранен триъгълник ∟K = ∟M = ∟N. Тъй като, съгласно сумата от ъглите на триъгълник теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, след това 3 х = 180 ° ∟K или ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. По този начин, твърдението е доказано. Както се вижда от по-горе данни въз основа на по-горе теоремата, сумата от ъглите на равностранен триъгълник, като сумата от ъглите на всеки друг триъгълник е 180 градуса. Отново, доказващ това теорема не е необходимо.

Все още има някои качества, характерни за равностранен триъгълник:

• средната височина ъглополовяща в геометрична фигура идентични, и тяхната дължина се изчислява като (а х √3): 2;
• ако този многоъгълник, описващ кръг, след това радиусът ще бъде равна на (а х √3): 3;
• ако вписан в окръжност равностранен триъгълник, радиус ще бъде (а х √3): 6;
• площ на геометрична фигура се изчислява по формулата: (а2 х √3): 4.

тъп триъгълник

По дефиниция, тъп правоъгълен триъгълник, един от неговите краища е между 90 до 180 градуса. Но като се има предвид факта, че другите два ъглите на геометрична форма остър, може да се заключи, че те не надвишава 90 градуса. Следователно, сумата от ъглите на триъгълник теорема работи при изчисляването на сумата от ъглите в триъгълник тъп. Така че, можем спокойно да кажем, на базата на горната теорема, че сборът от тъпите ъгли на триъгълника е 180 градуса. Отново, това теорема не е необходимо да се възстанови доказателство.