Преобразуване на Фурие. Бързо преобразуване на Фурие. Дискретно преобразуване на Фурие

трансформация на Фурие - трансформация, за асоцииране на определена функция на реална променлива. Тази операция се извършва всеки път, по който възприемаме различни звуци. Уши произвежда автоматичен "изчисление", който изпълни нашето съзнание може само след разглеждането на участъка от висшата математика. слуха органи в човек трансформация конструкции, в които звука (конвенционален вибрационното движение на частиците в еластична среда, които се разпространяват под формата на вълна в твърда, течна или газообразна среда) е снабден в диапазона от последователни стойности на силата на звука на тоновете на различни височини. След това, в мозъка се превръща информацията в цялата познатия шум.

Математически преобразуване на Фурие

Превръщането на звукови вълни или други вибрации процеси (чрез излъчването на светлина и океанска вълна и да звездните или слънчеви цикли) може да се извърши и с помощта на математически методи. По този начин, с помощта на тези техники, функциите могат да бъдат разширени чрез въвеждане на вибрационните процеси, определени от синусоидални компоненти, т.е. вълнообразни извивки, които излизат от минимум до максимум и след това отново до минимум, като вълна от морето. Фурие трансформация - функция трансформация, която описва фаза или амплитудата на всеки синусоида, съответстващ на определена честота. Фаза е отправна точка на кривата и амплитудата - от височината му.

Преобразуване на Фурие (примери са показани на снимката) е много мощен инструмент, който се използва в различни области на науката. В някои случаи, се използва като разтвор доста сложни уравнения, които описват динамични процеси, протичащи под влиянието на светлина, топлина или електрическа енергия. В други случаи, като ви дава възможност да се определи редовни компоненти в сложни форми на вълната, поради това може да е вярно за интерпретиране на различни експериментални наблюдения в областта на химията, медицината и астрономията.

историческа информация

Първият човек, който се прилага този метод е френски математик Жан Batist огън. Преобразуване, впоследствие кръстен на него, първоначално е бил използван, за да опише механизма за провеждане на топлината. Фурие целия си съзнателен живот, ангажирани в изучаване на свойствата на топлината. Той направи огромен принос за математическата теория на определянето на корените на алгебрични уравнения. Фурие бил професор по анализ в École Polytechnique, секретар на Института по египтология, беше имперски услуга, която предизвика смут по време на строителството на пътя към Торино (под негово ръководство се отцежда от повече от 80 хиляди квадратни километра маларийните блата). Всичко това обаче активизъм не спира ученият занимава с математически анализ. През 1802 е получен уравнение, който описва разпространението на топлината в твърди вещества. През 1807 г. учени открили метод за решаване на това уравнение, което стана известно като "преобразуване на Фурие".

анализ топлопроводимост

Изследователите са използвали математически метод за описване на механизма за провеждане на топлината. Подходящ пример, където никаква трудност в изчисление е разпространението на топлинна енергия от железен пръстен, една част потопен в огън. За да се извърши експерименти Фурие нажежено част от пръстена и го заравят в финия пясък. След това измерванията на температурата, проведени върху срещуположната част от него. Първоначално разпределение на топлина е неправилна: част от пръстена - студено, а другата - горещо, между зони може да наблюдава рязко температурен градиент. Въпреки това, по време на разпределението на топлинна енергия през металната повърхност, тя става по-равномерно. Така че, най-скоро, този процес е под формата на синусоида. Първо графика постепенно се увеличава и намалява плавно, прецизно законите на вариант на косинус или синусова функция. Wave постепенно изравни и в резултат температурата става равномерно върху цялата повърхност на пръстена.

Авторът на този метод предполага, че първоначалното разпределение е доста нередовен могат да се разделят на няколко елементарни вълни задължително. Всеки от тях ще има фаза (начална позиция), а максималната температура. По този начин всеки такива промени компонент от минимум до максимум и обратно до пълно завъртане около времето на пръстен число. Компонент като период, който е наречен основен хармонична, и стойността с две или повече периоди - на втория и така нататък. Например, математическа функция, която описва максималната температура, фаза или позиция наречена преобразувание на Фурие на функцията на разпределение. Учен донесе един единствен компонент, който е трудно да се математическо описание, за лесни за използване инструменти - редици от синус и косинус, в размер на даване първоначалното разпределение.

Същността на анализа

Прилагането на този анализ за превръщане на разпределение на топлината върху твърдата обекта, като пръстеновидна форма, математик мотивирано че увеличават периоди на синусоидални компоненти водят до бързото затихване. Това се вижда ясно по основните и втори хармоници. Крайният температурата достигне два пъти максималните и минималните стойности, с едно минаване, а през първото - само веднъж. Оказва се, че пробегът на топлина през втората хармонична е половината от тази на ядрото. В допълнение, градиент на втората половина ще бъде по-стръмен от първото. Следователно, тъй като по-интензивно топлинен поток преминава вдовица минимално разстояние, а след това ще бъдат заглушени хармонична четири пъти по-бързо от основните, като функция на времето. В следващия процес ще бъде още по-бързо. Математикът смята, че този метод ни позволява да изчислим процеса на първоначалното разпределение на температурата с времето.

Контактни съвременници

Преобразуване на Фурие алгоритъм се превърна в предизвикателство за теоретичните основи на математиката в момента. В началото на деветнадесети век, повечето известни учени, в това число на Лагранж, Лаплас, Поасон, Legendre и Био не приемат твърдението му, че температурата на първоначалното разпределение се разлага на компоненти под формата на основната вълна и по-висока честота. Въпреки това, на Академията на науките не може да се игнорира на резултатите, получени математик, и му присъжда награда за теорията на топлопроводност на законите, както и провеждане на сравнение с неговия физически експерименти. В подхода на Фурие, основното възражение е фактът, че с прекъсване функция е представена със сбор от няколко синусоидални функции, които са постоянни. В крайна сметка, те описват спукването прави и криви линии. Съвременно учен не е срещал такава ситуация, когато прекъснати функции, описани чрез комбинация от непрекъснат, като квадратно, линейни, задължително или изложител. В случай, че един математик е прав в твърденията си, сумата от безкрайна поредица от тригонометрични функции трябва да се ограничи до точната скорост. Докато такова твърдение изглежда абсурдно. Все пак, въпреки съмненията на някои изследователи (например Клод Навие, Sofi Zhermen) разшири обхвата на научните изследвания и да ги извади от анализа на разпределение на топлината. А математика, междувременно продължава да страда въпроса дали сума от няколко синусоидални функции се свежда до точно представяне на избухване.

200-годишна история

Тази теория се разви повече от два века, днес тя е най-накрая формира. С помощта на пространствени или времеви функции са разделени на синусоидални компоненти, които имат честота, фаза и амплитуда. Това превръщане се получава чрез два различни математически методи. Първият от тях се използва в случаите, когато източникът е непрекъсната функция, а вторият - в случая, когато тя е представена от множество отделни индивидуални промени. Ако изразът се получава от стойности, които са определени в дискретни интервали от време, може да бъде разделен на няколко отделни синусоидални честоти изрази - от най-ниската и след това се удвои, три пъти, и т.н. над основното. Тази сума се нарича Фурие серия. Ако първоначалният израз определя стойността на всеки реално число, то може да се раздели на няколко синусоидални всички възможни честоти. Тя се нарича интеграл на Фурие и решението предполага трансформация на интегралната функция. Независимо от използвания метод за получаване на трансформация, за всяка честота трябва да посочат две числа: амплитуда и честота. Тези стойности са изразени като единен комплекс номер. Експресия комплексни променливи теория заедно с трансформация на Фурие за извършване на изчисления позволи проектирането на различни електрически вериги, анализът на механични вибрации, изследването на механизъм вълната и друг.

Преобразуване на Фурие днес

В днешно време, изследването на този процес основно се свежда до намиране на ефективни методи за прехода от функция, за да го върнете на ум. Това решение се нарича пряка и обратна трансформация на Фурие. Какво означава това? С цел да се определи на интеграл и направи пряко преобразуване на Фурие, можете да използвате математически методи, но можете да аналитичен. Въпреки факта, че когато се използват на практика има някои трудности, повечето интеграли вече са били намерени и вписани в математически наръчници. С помощта на числени методи могат да бъдат изчислени изрази, формата на която се основава на експериментални данни, чиято функция интеграли в таблиците са изчезнали, и те са трудно да си представим в аналитичен вид.

Преди появата на компютърен инженеринг изчисления тези трансформации са много досадни, те изискват ръчно изпълнение на голям брой аритметични операции, които зависят от броя на точките, които описват вълновата функция. За да се улесни уреждането днес, има специални програми, разрешени от прилагане на нови аналитични методи. Така че, през 1965 г., Джеймс Кули и Джон Tyuki създаден софтуер, който стана известен като "Бързо преобразуване на Фурие". Това спестява време на изчислението чрез намаляване на броя на повторенията в анализа на кривата. "Fast Fourier Transform" Методът се основава на разделяне на кривата в голям брой еднакви стойности проба. Съответно, броят на повторенията се намалява наполовина в същото намаляване на броя на точки.

Прилагането на преобразуване на Фурие

Този метод се използва в различни области: В редица теория, физика, обработка на сигнали, комбинаторика, теория на вероятностите, криптография, статистика, океанография, оптика, акустика, и други геометрии. Богати възможности за използването му се основават на редица полезни функции, които се наричат "свойства на трансформацията на Фурие." Нека ги разгледаме.

1. Функцията за преобразуване е оператор линейна и съответен нормализиране е единна. Този имот е известна като теорема Parseval, или в най-общия случай, на теорема Plansherelja или Pontrjagin дуализма.

2. Превръщането е обратимо. Освен това обратния резултат е по същество подобна форма като в прякото адресиране.

3. синусоидални основни изрази, са собствените им диференцирани функции. Това означава, че като представяне променя линейни уравнения с постоянни коефициенти по конвенционален алгебрични.

4. Според "намотка" теорема, процесът прави сложна операция в началното умножение.

5. на Фурие може бързо да бъде проектиран на компютър с помощта на "бърза" метод.

Вариации на трансформация на Фурие

1. Най-често терминът се използва за обозначаване на непрекъсната трансформация, която осигурява всяко от втора интегрируеми експресия като сумата от комплекс експоненциално експресия със специфични ъглови честоти и амплитуди. Този вид има няколко различни форми, които могат да бъдат различни постоянни коефициенти. Непрекъснатият метод включва таблица за преобразуване, които могат да бъдат намерени в математически наръчници. Генерализирана случай е частична конверсия, като този процес може да се повиши до желаната истинската сила.

2. Непрекъснат метод е обобщение на по-рано техника на Фурие серия дефинирани за всички периодични функции или изрази, които съществуват в ограничена зона и да ги представят като серия от синусоиди.

3. на Фурие. Този метод се използва при изчисляване на научните изчисления и цифрова обработка на сигнала. За осъществяване на този вид изчисление е необходимо да има функция за определяне на дискретен набор от отделни точки, периодично или ограничен регион, вместо непрекъснато интеграли на Фурие. преобразуване на сигнала в този случай се представя като сума от хармоници. Използването на метода "бързо" позволява използването на дигитални решения за всички практически цели.

4. Прозорецът преобразуване на Фурие е обобщен изглед на класическия метод. За разлика от стандартните разтвори, когато се използва спектъра на сигнал, които се вземат в пълния обхват на съществуване на тази променлива е от особен интерес тук е само локално разпределение на честотата при запазване на оригиналната стойност (време).

5. двумерен преобразувание на Фурие. Този метод се използва за работа с двумерни масиви от данни. В такъв случай, превръщането се извършва в една посока, а след това - в другата.

заключение

Днес, на метода на Фурие е здраво установени в различни области на науката. Например, през 1962 г. отвори формата на двойната спирала на ДНК с помощта на Фурие анализ във връзка с рентгенова дифракция. Последните кристали фокусирани върху ДНК влакна, в резултат на образ, който се получава чрез дифракция, записани на филма. Тази картина е дал информация за стойността на амплитудата с помощта на Фурие на тази кристална структура. данни фаза, получена чрез сравняване на ДНК дифракционни карти с карти, които са получени при анализа на подобни химически структури. В резултат на това биолози възстановени кристална структура - основната й функция.

Преобразуване на Фурие играят огромна роля в изследването на космоса, физиката на полупроводникови материали и плазма, микровълнови акустика, океанография, радар, сеизмология и медицински прегледи.