Как да се изчисли площта на пирамида: на база, страната и пълноценно?

При подготовката за изпита по математика на учениците трябва да се систематизират знанията на алгебра и геометрия. Бих искал да се съчетаят всички известни данни, като например как да се изчислява площта на пирамида. Освен това, като се излиза от дъното и страничните повърхности, докато цялата повърхност. Ако страната е изправена пред ситуацията е ясна, тъй като те са триъгълници, основата е винаги различна.

Как да бъде, когато площта на основата на пирамидата?

Тя може да бъде доста всяка цифра от произволен триъгълник до н-гон. И тази база, освен разликата в броя на ъгли, може да бъде правилен или неправилен фигура. В интерес на студентите задачи на изпита намери само работни места с правилните фигури в основата. Ето защо, ние ще говорим само за тях.

равностранен триъгълник

Това е равностранен. Едно, че всички страни са равни и са обозначени с буквата "а". В този случай, базовата площ на пирамидата се изчислява по формулата:

S = ⁽² * √3) / 4.

квадрат

Формулата за изчисляване на площта му е най-простият, е "а" - страна отново е:

И S = ^2.

Произволен редовен п-гон

В страните на многоъгълника същото наименование. За броя на ъгли използва латинска буква п.

S = (N * ²⁾ / (4 * TG (180 ° / о)) .

Как да въведете при изчисляването на площта на страничната и цялата повърхност?

Тъй като основната фигура е вярна, тогава всички лицата на пирамидата са равни. Всяка от които е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да се изчисли областта на едната страна на пирамидата трябва формула, състояща се от сумата на едночлени идентични. Броят на условия се определя от размера на базови страни.

Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата в която половината от основния продукт се умножава по височина. Тази височина в пирамида, наречена Апотема. Нейното предназначение - "А". Общата формула за областта на страничната повърхност, е както следва:

S = Уг P * А, където Р - периметъра на основата на пирамидата.

Има моменти, когато това не е известна на базовата страна, но страничните ръбове са (а) плоски и ъгълът при върха (α). След това тя разчита използвайте следната формула за изчисляване на странично пространство на пирамидата:

S = п / 2 до ² * грях α.

Задача № 1

Състояние. Намерете общата площ на пирамидата, ако основата е равностранен триъгълник със страна 4 см и има стойност √3 Апотема см.

Решение. Трябва да се започне с изчисляване на база периметъра. Тъй като това е редовен триъгълник, тогава Р = 3 * 4 = 12 cm Апотема Както е известно, може веднага се изчислява площта на цялата странична повърхност :. Уг * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

За да се получи база триъгълника е стойността на областта (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

За да се определи цялата област трябва да се прибират двете Получените стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Отговор. 10√3 ^cm2.

Проблем № 2

Състояние. Има редовна четириъгълна пирамида. Дължината на основата е равен на 7 mm, страничният ръб - 16 мм. Трябва да знаете неговата повърхност.

Решение. Тъй като полихедронов - правоъгълни и правилна, в основата му е квадрат. Изслушване базова площ и странични страни да могат да разчитат на квадратен пирамидата. Формулата за квадрата е дадено по-горе. И знам, че всички странични лица на триъгълника. Поради това, можете да използвате формула на Херон за изчисляване на техните територии.

Първите изчисления са прости и да доведат до този брой: 49 mm ^2. За изчисляване на втората стойност трябва semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Сега можем да се изчислява площта на равнобедрен триъгълник: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54 644 mm ^2. Има четири триъгълници, така че при изчисляването на крайните числа ще трябва да се умножава по 4.

Получено: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Отговор. 267,576 желаната стойност от ² мм.

Задача № 3

Състояние. На редовното четириъгълна пирамида е необходимо да се изчисли района. Известно е страна на площада - 6 см и височина - 4 см.

Решение. Най-лесният начин да се използва формулата на продукта на периметъра и Апотема. Първата стойност се намери просто. Вторият малко по-трудно.

Ще трябва да се помни, Питагоровата теорема и помисли правоъгълен триъгълник. Тя се формира от височината на пирамидата и Апотема, което е хипотенузата. Реваншът е половината от страна на площада, като височината полихедронов попада в средата на него.

Предпочитан Апотема (хипотенузата на правоъгълен триъгълник) е равна на √ ^{(02 Мар} + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Сега е възможно да се изчисли желаната стойност: Уг * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 ( ^{2 cm).}

Отговор. 96 cm ^2.

Проблем № 4

Състояние. Дана редовен шестоъгълна пирамида. Страните на основата равни на 22 mm, страничните ръбове - 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полихедронов?

Решение. В мотивите в него са същите, както е описано в №2 на задачите. Само на пирамидата е дадена там на площада в основата, а сега тя е шестоъгълник.

Първият етап се изчислява от базовата областта на горната формула ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Сега трябва да се намери половин периметър на равнобедрен триъгълник, която е страна лице. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 остава херонова формула за изчисляване на площта на всяка от триъгълника, и след това се умножава по шест пъти и този, който се оказа основата.

Изчисленията на херонова формула: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. Изчисленията, които ще осигурят странична повърхност: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Остава да ги добавите, за да разберете цялата повърхност: 5217,47≈5217 см ^2.

Отговор. Правни основания - 726√3 см ^2, страничната повърхност - 3960 см ^2, цялата площ - 5217 ^cm2.